平面图我们离散课上讲过，在二维空间中可以写成不交叉边的图就是平面图，最小的非平面图有K5和K（3,3）

每个平面图都对应一个对偶图，对偶图中的最小环就是原图的最小割

如果删去对偶图中s-t这条边，就是相当于求最短路了

把原图中每个点在对偶图中标号，重新建图，在新图中跑最短路就行了

然后看一下平面图和对偶图之间的转化：

对偶图中的每一个点即为平面图中的某一个面，对偶图中任意两点间的线都是平面图中对应两平面公共边的割线，如果平面图中某一条边只属于一个面，那么在对偶图中就是一个环边

对偶图的边数等于平面图的边数，对偶图的点数等于平面图的面数

 

针对BZOJ1001

①把每一个图中的面积块当作新的点。②每一条边都与两个面相连，把面看作点后，这条边连接这两个面化作的点，权值不变。③连接起点与终点，把外面的最大平面分成两份，分别为最短路的起点与终点。④跑一边最短路即可。

我感觉难在建图上，别的都非常好说

建图必须好好研究一下

1 #include
     
       2 #include
      
        3 const int maxn=2000005; 4 int n,m,nm,cnt; 5 bool vi[maxn]; 6 int dis[maxn],g[maxn],q[maxn]; 7 struct Edge 8 { 9     int t,next,w;10 }e[4*maxn];11 void insert(int u,int v,int w)12 {13     cnt++;e[cnt].t=v;e[cnt].w=w;e[cnt].next=g[u];g[u]=cnt;14     cnt++;e[cnt].t=u;e[cnt].w=w;e[cnt].next=g[v];g[v]=cnt;15 }16 void spfa()17 {18     memset(dis,0x3f,sizeof(dis));19     dis[0]=0;20     int h=0,t=1;21     q[t]=0;22     vi[0]=1;23     while(h!=t)24     {25         h=h%maxn+1;26         int u=q[h];27         vi[u]=0;28         for(int tmp=g[u];tmp;tmp=e[tmp].next)29         {30             int v=e[tmp].t;31             if(dis[v]>dis[u]+e[tmp].w)32             {33                 dis[v]=dis[u]+e[tmp].w;34                 if(!vi[v])35                 {36                     t=t%maxn+1;37                     vi[v]=1;38                     q[t]=v;39                 }40             }41         }42     }43 }44 int main()45 {46     scanf("%d%d",&n,&m);47     nm=(n*m-m-n+1)<<1;48     int x;49     for(int j=1;j